|
Vyučující
|
-
Hozman Jiří, RNDr. Mgr. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
Přednášky: 1. Úvod do teorie Sobolevových prostorů. Základní myšlenky metody konečných prvků (MKP). Definice slabého řešení Poissonovy rovnice s Dirichletovými okrajovými podmínkami. 2. Abstraktní eliptický variační problém. Klasické a slabé řešení, Lax-Milgram lemma. Prostory konečných prvků, báze. 3. Triangulace výpočetní oblasti, konstrukce prostoru konečných prvků. Lagrangeovské a hermitovské konečné prvky definované na simplexech a obdélnících. Barycentrické souřadnice. 4. Obecná definice konečného prvku. Afinní ekvivalence konečných prvků, koncept referenčního konečného prvku a jeho význam pro teoretické úvahy i implementaci. 5. Obecná definice prostoru konečných prvků. Okrajové podmínky. 6. Obecné úvahy o konvergenci MKP. Základní odhady chyb přibližného řešení. 7. Aproximační vlastnosti prostorů konečných prvků. Konvergence diskrétních řešení eliptických problémů. 8. Odhady chyby v L2 normě. Nehomogenní okrajové podmínky. 9. Numerická integrace a její vliv na chybu přibližného řešení. Aproximace hranice výpočetní oblasti. 10. Soustavy lineárních algebraických rovnic odpovídající diskrétním eliptickým problémům a jejich vlastnosti. Základní způsoby řešení těchto soustav. 11. Konečně prvková diskretizace parabolických problémů. Lineární parabolická rovnice. Semidiskretizace problému a odpovídající soustava obyčejných diferenciálních rovnic (ODR). 12. Numerické metody pro soustavy ODR a jejich analýza - stabilita, konzistence, konvergence, řád metody. 13. Konečně prvková diskretizace hyperbolických problémů druhého řádu. 14. Rezerva Cvičení: Procvičuje se látka vyložená na přednášce v předchozím týdnu.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Monologický výklad (přednáška, prezentace, vysvětlování)
- Účast na výuce
- 56 hodin za semestr
|
|
Výstupy z učení
|
Matematické základy metody konečných prvků. Variační formulace, diskretizace, konvergence, odhady chyb a implementace.
Matematické základy metody konečných prvků. Aplikace na řešení okrajových úloh pro obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Základní algoritmy a přehled softwaru.
|
|
Předpoklady
|
Základy numerické matematiky.
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Kombinovaná zkouška
Zápočet: Aktivní účast na cvičeních. Vypracování zadané výpočetní semestrální práce na počítači. Zkouška: Písemná, skládá se z části teoretické a početní
|
|
Doporučená literatura
|
-
Brenner S. - Scott R.:. The mathematical theory of finite element methods. 1994.
-
Ciarlet, P.G.:. The finite element method for elliptic problems. 1978.
-
Haslinger, J.:. Metoda konečných prvků pro řešení eliptických rovnic a nerovnic.. Praha, SPN, 1980.
-
Haslinger, J.:. Řešení variačních rovnic a nerovnic, skriptum.. MF UK, Praha, 1983.
-
Rektorys, K.:. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky.. Praha, 1974.
-
Šolín, P. - Segeth, K. - Doležel, I.:. Higher-Order Finite Element Methods.. Boca Raton, FL, Chapman & Hall/CRC, 2004.
-
Šolín, P.:. Partial Differential Equations and the Finite Element Method.. Hoboken, NJ, Wiley, 2005.
|