1) Opakování, ortogonální matice, matice jako zobrazení, spektrální rozklad symetrických pozitivně definitních matic. Zavedení singulárního rozkladu. 2) Věty o singulárním rozkladu. Základní vlastnosti a použití: Moore-Penroseova pseudoinverze, normy a podmíněnost, polární rozklad, kanonické úhly mezi podprostory, komprese dat, atd. 3) Relace na množině, základní číselné množiny, úvod do dělitelnosti: největší společný dělitel, Eukleidův algoritmus, Bézoutova rovnost, základní věta aritmetiky, prvočísla. Kongruence a základní operace s kongruencemi. 4) Eulerova funkce, Eulerova a malá Fermatova věta. Komutativní okruh, obor integrity (OI), komutativní těleso (pole). Rozšíření OI. 5) Podílové těleso. Dělitelnost, asociované prvky, invertibilní prvky, ireducibilní prvky, největší společný dělitel v OI. 6) Opakování před písemnou prací. Rozšíření výkladu: gaussovské OI, eukleidovské OI. 7) Nulární, unární, binární, ternární, n-ární operace na množině. Grupa, aditivní a multiplikativní interpretace, abelovská grupa. Příklady (ne)abelovských grup, malé konečné grupy. Izomorfismus. Podgrupa. 8) Podgrupy, direktní součin grup, řád grupy, řád prvku, generátor, cyklická grupa. Klasifikace konečných abelovských grup. 9) Levé a pravé třídy, rozklad grupy na třídy. Řád grupy a její podgrupy. Normální podgrupa. Jednoduché grupy, faktorgrupy. 10) Opakování před písemnou prací. Rozšíření výkladu: nekonečné grupy, Lioevy grupy, infinitezimální generátor. 11) Komutativní tělesa (pole) charakteristiky 0. Nadtěleso jako vektorový prostor nad podtělesem. Stupeň rozšíření, algebraické a transcendentní prvky, minimální polynom. 12) Algebraický uzávěr, algebraicky uzavřené těleso, základní věta algebry (podruhé). Eukleidovské konstrukce (kružítkem a pravítkem) a klasické neřešitelné úlohy. 13) Konečná komutativní tělesa (pole) Z_p, Galoisova pole. Nekomutativní tělesa, kvaterniony a jejich základní algebraické vlastnosti. 14) Opakování, rezerva.
|
V předmětu se uzavírá lineární algebra výkladem o singulárním rozkladu a probírají se základní pojmy obecné algebry: * aritmetika zbytkových tříd, komutativní okruhy, obory integrity; * úvod do teorie grup; * tělesa.
Teorie, algoritmy a aplikace teorie čísel, zejména modulární aritmetiky. Teorie, algoritmy a aplikace polynomické algebry. Maticová algebra, geometrická interpretace. Aplikace v geometrii a optimalizaci.
|
-
Bican, L. Algebra (pro učitelské studium). Praha, Academia, 2001. ISBN 80-200-0860-8.
-
Cameron, P. J. Introduction to Algebra. Oxford University Press, 2008.
-
Durbin, J. R. Modern Algebra: An Introduction. Willey, 2008.
-
Stanovský, D. Základy algebry. Matfyzpress, 2010.
|