Předmět: Matematická analýza 1

» Seznam fakult » FP » KAP
Název předmětu Matematická analýza 1
Kód předmětu KAP/AN1
Organizační forma výuky Přednáška + Cvičení
Úroveň předmětu Bakalářský
Rok studia nespecifikován
Semestr Zimní
Počet ECTS kreditů 5
Vyučovací jazyk Čeština
Statut předmětu Povinný
Způsob výuky Kontaktní
Studijní praxe Nejedná se o pracovní stáž
Doporučené volitelné součásti programu Není
Dostupnost předmětu Předmět je nabízen přijíždějícím studentům
Vyučující
  • Šimůnková Martina, RNDr. Ph.D.
Obsah předmětu
Obsahem předmětu je seznámení s nejdůležitějšími partiemi diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a s jejich základními aplikacemi. Jazyk matematiky, naivní teorie množin, reálná a komplexní čísla, význam axiomu úplnosti (rozdíl mezi racionálními a reálnými čísly) Pojem zobrazení a jeho základní vlastnosti, zacházení se zobrazeními. Funkce a jejich popis. Základní vlastnosti funkcí a jejich speciální třídy (omezené, periodické apod.) Posloupnosti reálných čísel a jejich vlastnosti. Limita posloupnosti, existence limity omezené monotónní posloupnosti, princip vložených intervalů. Cantorova věta o vložených intervalech. Tvrzení o limitách a algebraických operacích. Reálné funkce jedné reálné proměnné, jednoduché elementární funkce. Spojitost funkce v bodě a v intervalu. Operace se spojitými funkcemi. Skládání spojitých funkcí. Prostor spojitých funkcí na intervalu. Spojitost a vztah k limitám posloupností. Nevlastní limity. Limita funkce, limity a algebraické operace, limita složené funkce. Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, Borelova pokrývací věta. Inverzní funkce a jejich vlastnosti (monotonie, spojitost). Transcendentní elementární funkce: logaritmus, exponenciální funkce, hyperbolické funkce, goniometrické funkce. Analogie mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi. Derivace funkce v bodě, vztah ke spojitosti. Derivace jakožto funkce. Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu. Vztah derivace a monotonie funkce, funkce s nulovou derivací na intervalu. Derivace inverzní funkce, funkce cyklometrické. Derivování a algebraické operace. Derivace složené funkce. Derivace vyšších řádů, konvexní a konkávní funkce, různý popis konvexity. Průběh funkce. Geometrický význam derivace, aproximace lineární funkcí, lokální aproximace funkce polynomem, Taylorův polynom, zbytek v Lagrangeově tvaru jako zobecnění věty o přírůstku funkce. Využití k výpočtu limit. L'Hospitalovo pravidlo. Využití infinitesimálního počtu ve fyzice a v geometrii. Popis rovinné křivky parametricky a rovnicí. Goniometrický tvar komplexního čísla, komplexní funkce reálné proměnné, polární souřadnice. Tečna grafu, tečna křivky. Jednoduchý případ implicitně popsané funkce, tvrzení o implicitní funkci (včetně derivace). Doplňky k derivování funkce reálné proměnné. Hledání nulových bodů funkce. Elementární numerické metody. Lokální a globální extrémy. Darbouxova vlastnost derivace spojité funkce. Derivace a primitivní funkce. Motivace pro mocninné řady.

Studijní aktivity a metody výuky
Monologický výklad (přednáška, prezentace, vysvětlování)
  • Účast na výuce - 56 hodin za semestr
  • Příprava na zápočet - 28 hodin za semestr
  • Příprava na zkoušku - 28 hodin za semestr
  • Domácí příprava na výuku - 38 hodin za semestr
Výstupy z učení
Obsahem předmětu je seznámení s nejdůležitějšími partiemi diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné a s jejich základními aplikacemi.
Funkce jedné reálné proměnné, diferenciální počet.
Předpoklady
Středoškolské znalosti, schopnost analytického myšlení.

Hodnoticí metody a kritéria
Ústní zkouška, Písemná zkouška

Podmínky pro získání zápočtu: úspěšné absolvování testu ze středoškolské matematiky, aktivní příprava na cvičení a aktivní účast na cvičení. Zkouška je písemná a ústní.
Doporučená literatura
  • Bittnerová, D. - Plačková, G. Louskáček 1 - diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné (Sbírka úloh). [Skripta TU v Liberci.] Liberec 2005.. Liberec, 2007.
  • Brabec, J. - Martan, F. - Rozenský, Z. Matematická analýza I. Praha, SNTL 1985..
  • Černý, I. Matematická analýza, 1. část. [Skripta TU v Liberci.]. TUL, Liberec, 1995.
  • Černý, I. Matematická analýza, 2. část. [Skripta TU v Liberci.]. TUL, Liberec, 1996.
  • Jarník, V. Diferenciální počet I. Praha 1963..
  • Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z. Sbírka řešených příkladů z matematiky. Praha 1982..
  • Nekvinda, M. - Vild, J. Matematické oříšky I. Liberec, TUL, 2003.
  • Nekvinda, M. - Vild, J. Náměty pro samostatné referáty. Liberec 1995..
  • Nekvinda, M. Matematika I. Liberec 1997 a další..
  • Veselý, J. Matematická analýza pro učitele, 1.díl. Praha, Matfyzpress 1997..


Studijní plány, ve kterých se předmět nachází
Fakulta Studijní plán (Verze) Kategorie studijního oboru/specializace Doporučený ročník Doporučený semestr