Předmět: Vybrané statě z matematiky

» Seznam fakult » FP » KAP
Název předmětu Vybrané statě z matematiky
Kód předmětu KAP/VYB
Organizační forma výuky Přednáška + Cvičení
Úroveň předmětu Magisterský
Rok studia nespecifikován
Semestr Zimní
Počet ECTS kreditů 5
Vyučovací jazyk Čeština
Statut předmětu nespecifikováno
Způsob výuky Kontaktní
Studijní praxe Nejedná se o pracovní stáž
Doporučené volitelné součásti programu Není
Dostupnost předmětu Předmět je nabízen přijíždějícím studentům
Vyučující
  • Šimůnková Martina, RNDr. Ph.D.
Obsah předmětu
Vektorové prostory, prostory funkcí (prostory polynomů, po částech polynomiálních funkcí, spojitých, diferencovatelných funkcí). Prostory konečných prvků. Triangulace oblasti, uzlové parametry, Lagrangeovy, Hermitovy a izoparametrické prvky, referenční prvek a referenční souřadnice. Normované vektorové prostory. Konvergence posloupnosti vektorů, cauchyovské posloupnosti, úplné (Banachovy) prostory, normy na prostorech aritmetických vektorů a na prostorech spojitých a diferencovatelných funkcí, Lebesgueovy prostory, Sobolevovy prostory. Prostory se skalárním součinem. Norma (a konvergence) odvozená od skalárního součinu, Hilbertovy prostory. Schwartzova nerovnost, rovnoběžníková rovnost, ortogonální vektory, vektor ortogonální na podprostor, ortogonální podprostory, věta o ortogonální projekci na uzavřený podprostor. Ortogonální a ortonormální baze, Gram-Schmidtův algoritmus, Fourierova řada, Besselova nerovnost, Parcevalova rovnost, úplná ortogonální množina, Schauderova baze. Lineární funkcionály. Jádro a obor hodnot lineárního funkcionálu. Spojité a omezené lineární funkcionály, věta o spojitých a omezených funkcionálech a věta o uzavřenosti jádra spojitého funkcionálu. Riezsova věta o reprezentaci spojitého funkcionálu na Hilbertově prostoru. Lineární zobrazení. Matice lineárního zobrazení, změna matice při změně baze ve výchozím a cílovém prostoru, jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, Frobeniova věta. Lineární zobrazení na prostorech se skalárním součinem. Matice lineárního zobrazení vzhledem k ortonormální bazi. Sdružené, symetrické a samosdružené zobrazení. Izometrie. Polární rozklad matice. Vlastní čísla a vlastní vektory lineárních zobrazení. Invarianty zobrazení. Funkce zobrazení. Vlastní čísla a vlastní vektory symetrických zobrazení a izometrie. Lineární zobrazení v mechanice kontinua. Kvadratické funkcionály. Bilineární, symetrické funkcionály. Pozitivní, pozitivně definitní, omezené, spojité kvadratické funkcionály. Lax-Milgramova věta o minimu kvadratického funkcionálu. Aproximace jako minimum kvadratického funkcionálu. Variační formulace. Gaussova věta (jako vícerozměrné per partes). Klasická (silná) a variační (slabá) formulace, energetický funkcionál. Ritzova metoda, Galerkinova metoda. Metoda konečných prvků jako speciální případ Ritzovy metody, matice tuhosti. Numerická vícerozměrná integrace. Gaussovy body. Metoda sdružených gradientů.

Studijní aktivity a metody výuky
Monologický výklad (přednáška, prezentace, vysvětlování)
  • Účast na výuce - 70 hodin za semestr
  • Semestrální práce - 30 hodin za semestr
  • Příprava na zkoušku - 40 hodin za semestr
  • Domácí příprava na výuku - 20 hodin za semestr
Výstupy z učení
Matematické základy metody konečných prvků.
Je seznámens moderními metodami řešení diferenciálních rovnic a umí je aplikovat na metodou konečných prvků.
Předpoklady
Znalost lineární algebry alespoň v rozsahu předmětu Matematika 2a.

Hodnoticí metody a kritéria
Ústní zkouška, Písemná zkouška

Zápočet: Vypracování semestrální práce. Zkouška: Písemná a ústní.
Doporučená literatura
  • Rektorys, K. a kol. Přehled užité matematiky. Praha, Prometheus, 1996.
  • Rektorys, K. Matematika 43, Obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami. Vydavatelství ČVUT, 2001.


Studijní plány, ve kterých se předmět nachází
Fakulta Studijní plán (Verze) Kategorie studijního oboru/specializace Doporučený ročník Doporučený semestr