|
Vyučující
|
-
Soudský Filip, RNDr. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
Přednášky: 1. Základní pojmy teorie míry: sigma algebra, míra, měřitelný prostor, měřitelné funkce, jednoduché funkce. 2. Integrál jednoduchých funkcí, L1 -zúplnění. 3. Vlastnosti integrálu. 4. Záměna limity a integrálu: Fatouovo lemma, Leviho a Lebesgueova věta. 5. Rozšíření měr z algeber na sigma algebry. 6. Součin měr a Fubiniova věta. 7. Integrál a míra v R, vztah Lebesgueova, Riemannova a Newtonova integrálu. 8. Distribuční funkce, Lebesgueova-Stieltjesova míra. 9. Lebesgueova míra a integrál v Rn 10. Věta o substituci. 11. Křivky, orientace. 12. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. 13. Greenova věta. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. 14. Rezerva. Cvičení: Probírá se látka vyložená na přednášce v předchozím týdnu. Cvičení: Probírá se látka vyložená na přednášce v předchozím týdnu.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Monologický výklad (přednáška, prezentace, vysvětlování)
- Účast na výuce
- 56 hodin za semestr
- Příprava na zápočet
- 28 hodin za semestr
- Příprava na zkoušku
- 28 hodin za semestr
- Domácí příprava na výuku
- 68 hodin za semestr
|
|
Výstupy z učení
|
Předmět je úvodem do teorie míry a integrálu. Student se seznámí s abstraktními prostory s mírou a následně s Lebesguovou vnější mírou a Lebesgueovou mírou. Následně je definován Lebesgueův integrál nad abstraktním prostorem s mírou a jsou odvozeny jeho základní vlastnosti (monotonie, linearita, limitní věty (Fatouova, Leviho a Lebesguova), Fubiniova věta). Student se dále seznámí s Lebesguovými prostory funkcí a jejich základními vlastnostmi (úplnost, reflexivita, atd?). Dále jsou probrány základní vztahy mezi L^p normami, H"olderova nerovnost a dualní prostory k L^p (Rieszova věta).
Studenti se seznámí se základními vlastnostmi teorie míry a abstraktního integrálu a získají prostředky vhodné k dalšímu studiu matematické analýzy, teorie pravděpodobnosti a k aplikacím.
|
|
Předpoklady
|
Kalkulus 1, Kalkulus 2, Analyza funkci vice promennych
KMA/PAN1M a zároveň KMA/PAN2M
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Kombinovaná zkouška
Zápočet: Aktivní účast na cvičeních + testy. Zkouška: písemná a ústní.
|
|
Doporučená literatura
|
-
Jirásek, F. - Čipera, S. - Vacek, M.:. Sbírka řešených příkladů z matematiky II. SNTL, Praha, 1989.
-
Brabec, J. - Hrůza, B.:. Matematická analýza II. Praha, 1986.
-
Jarník, V.:. Integrální počet II. Praha, ČSAV 1955.. ČSAV, Praha, 1955.
-
Lang, S,:. Real and Functional Analysis. Springer Verlag, New York, 1993.
-
Lukeš, J.:. Příklady z matematické analýzy I. Příklady k teorii Lebesgueova integrálu. MFF UK Praha, 1968.
-
Lukeš, L. - Malý, J.:. Míra a integrál. [skripta MFF UK], Praha, UK 1993.. skripta MFF UK, Praha, 1993.
-
Netuka, I. - Veselý, J.:. Příklady z matematické analýzy. Míra a integrál. skripta MFF UK Praha, 1982.
-
Royden, H. L.:. Real analysis. New York, The Macmillan Company 1963.. The Macmillan Company, New York, 1963.
-
Rudin, W.:. Analýza v reálném a komplexním oboru. Praha, Academia 1977.. Academia, Praha, 1977.
-
Sikorski, R.:. Diferenciální a integrální počet. Praha, Academia 1973.. Academia, Praha, 1973.
|