|
Vyučující
|
-
Šimůnková Martina, RNDr. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
Obsahem předmětu je seznámení s nejdůležitějšími partiemi diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a s jejich základními aplikacemi. Jazyk matematiky, naivní teorie množin, reálná čísla, význam axiomu úplnosti (rozdíl mezi racionálními a reálnými čísly). Pojem zobrazení, základní vlastnosti a operace se zobrazeními (prosté zobrazení, složené zobrazení, inverzní zobrazení). Funkce reálné proměnné, základní vlastnosti funkcí (omezené, periodické, monotonní, liché, sudé). Použití monotonie funkcí na řešení nerovnic. Posloupnosti reálných čísel a jejich vlastnosti. Limita posloupnosti, konvergentní posloupnosti, konvergence omezené monotónní posloupnosti Tvrzení o limitách a algebraických operacích. Cauchyovské posloupnosti, věta o Cauchyovských a konvergentních posloupnostech. Reálné funkce jedné reálné proměnné, polynomy, počet kořenů polynomu, rozklad na součin kořenových činitelů, racionální funkce, parciální zlomky, rozklad racionální funkce na lineární kombinaci polynomu a parciálních zlomků, odmocniny. Spojitost funkce v bodě a na intervalu. Operace se spojitými funkcemi. Limita funkce, limity a algebraické operace, vztah ke spojitosti, metody výpočtu limit (úprava na prstencovém okolí, limita spojité funkce, věta o aritmetice limit). Heineho věta o spojitosti a posloupnostech. Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu: Weierstrassova věta o extrémech spojité funkce, Bolzanova věta o kořeni spojité funkce. Aplikace Bolzanovy věty na řešení nerovnic. Věta o nabývání mezihodnot, věta o obrazu intervalu ve spojité funkci. Inverzní funkce a její vlastnosti (monotonie, spojitost). Derivace funkce v bodě, geometrický význam derivace, aproximace lineární funkcí, rovnice tečny. Vztah derivace a spojitosti. Derivace jakožto funkce. Lagrangeova a Rolleova věta o střední hodnotě. Vztah derivace a monotonie funkce. Derivace inverzní funkce. Derivování a algebraické operace. Derivace složené funkce. Lokální a globální extrémy funkce reálné proměnné, nutná podmínka pro lokální extrém, stacionární bod funkce. Derivace vyšších řádů, konvexní a konkávní funkce, postačující podmínka pro lokální extrém, Taylorův polynom, zbytek v Lagrangeově tvaru. Základní typy důkazů: přímý, nepřímý, sporem matematickou indukcí.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Monologický výklad (přednáška, prezentace, vysvětlování)
- Účast na výuce
- 14 hodin za semestr
- Příprava na zápočet
- 28 hodin za semestr
- Příprava na zkoušku
- 28 hodin za semestr
- Domácí příprava na výuku
- 38 hodin za semestr
|
|
Výstupy z učení
|
Obsahem předmětu je seznámení s nejdůležitějšími partiemi diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné a s jejich základními aplikacemi.
Funkce jedné reálné proměnné, diferenciální počet.
|
|
Předpoklady
|
Středoškolské znalosti, schopnost analytického myšlení.
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Ústní zkouška, Písemná zkouška
Podmínky pro získání zápočtu: úspěšné absolvování testu ze středoškolské matematiky, aktivní příprava na cvičení a aktivní účast na cvičení. Zkouška je písemná a ústní.
|
|
Doporučená literatura
|
-
Bittnerová, D. - Plačková, G. Louskáček 1 - diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné (Sbírka úloh). [Skripta TU v Liberci.] Liberec 2005.. Liberec, 2007.
-
Brabec, J. - Martan, F. - Rozenský, Z. Matematická analýza I. Praha, SNTL 1985..
-
Černý, I. Matematická analýza, 1. část. [Skripta TU v Liberci.]. Liberec: TUL, 1995.
-
Černý, I. Matematická analýza, 2. část. [Skripta TU v Liberci.]. Liberec: TUL, 1996.
-
Jarník, V. Diferenciální počet I. Praha 1963..
-
Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z. Sbírka řešených příkladů z matematiky. Praha 1982..
-
Nekvinda, M. - Vild, J. Matematické oříšky I. Liberec: TUL, 2003.
-
Nekvinda, M. - Vild, J. Náměty pro samostatné referáty. Liberec 1995..
-
Nekvinda, M. Matematika I. Liberec 1997 a další..
-
Veselý, J. Matematická analýza pro učitele, 1.díl. Praha, Matfyzpress 1997..
|