Vyučující
|
-
Brzezina Miroslav, doc. RNDr. CSc., dr. h. c.
-
Šimůnková Martina, RNDr. Ph.D.
|
Obsah předmětu
|
Obsahem předmětu je seznámení s nejdůležitějšími partiemi diferenciálního počtu funkcí jedné reálné proměnné a s jejich základními aplikacemi. Jazyk matematiky, naivní teorie množin, reálná a komplexní čísla, význam axiomu úplnosti (rozdíl mezi racionálními a reálnými čísly) Pojem zobrazení a jeho základní vlastnosti, zacházení se zobrazeními. Funkce a jejich popis. Základní vlastnosti funkcí a jejich speciální třídy (omezené, periodické apod.) Posloupnosti reálných čísel a jejich vlastnosti. Limita posloupnosti, existence limity omezené monotónní posloupnosti, princip vložených intervalů. Cantorova věta o vložených intervalech. Tvrzení o limitách a algebraických operacích. Reálné funkce jedné reálné proměnné, jednoduché elementární funkce. Spojitost funkce v bodě a v intervalu. Operace se spojitými funkcemi. Skládání spojitých funkcí. Prostor spojitých funkcí na intervalu. Spojitost a vztah k limitám posloupností. Nevlastní limity. Limita funkce, limity a algebraické operace, limita složené funkce. Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu, Borelova pokrývací věta. Inverzní funkce a jejich vlastnosti (monotonie, spojitost). Transcendentní elementární funkce: logaritmus, exponenciální funkce, hyperbolické funkce, goniometrické funkce. Analogie mezi goniometrickými a hyperbolickými funkcemi. Derivace funkce v bodě, vztah ke spojitosti. Derivace jakožto funkce. Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu. Vztah derivace a monotonie funkce, funkce s nulovou derivací na intervalu. Derivace inverzní funkce, funkce cyklometrické. Derivování a algebraické operace. Derivace složené funkce. Derivace vyšších řádů, konvexní a konkávní funkce, různý popis konvexity. Průběh funkce. Geometrický význam derivace, aproximace lineární funkcí, lokální aproximace funkce polynomem, Taylorův polynom, zbytek v Lagrangeově tvaru jako zobecnění věty o přírůstku funkce. Využití k výpočtu limit. L'Hospitalovo pravidlo. Využití infinitesimálního počtu ve fyzice a v geometrii. Popis rovinné křivky parametricky a rovnicí. Goniometrický tvar komplexního čísla, komplexní funkce reálné proměnné, polární souřadnice. Tečna grafu, tečna křivky. Jednoduchý případ implicitně popsané funkce, tvrzení o implicitní funkci (včetně derivace). Doplňky k derivování funkce reálné proměnné. Hledání nulových bodů funkce. Elementární numerické metody. Lokální a globální extrémy. Darbouxova vlastnost derivace spojité funkce. Derivace a primitivní funkce. Motivace pro mocninné řady.
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Monologický výklad (přednáška, prezentace, vysvětlování)
- Účast na výuce
- 84 hodin za semestr
- Příprava na zkoušku
- 56 hodin za semestr
- Domácí příprava na výuku
- 72 hodin za semestr
- Příprava na zápočet
- 28 hodin za semestr
|
Výstupy z učení
|
Číselné množiny a jejich vlastnosti, reálná funkce jedné reálné proměnné, diferenciální počet funkce jedné reálné proměnné.
Funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet.
|
Předpoklady
|
Analytické myšlení. Středoškolská matematika.
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Kombinovaná zkouška
Zápočet - viz sylabus.
|
Doporučená literatura
|
-
Bittnerová, D. - Plačková, G.:. Louskáček 1 - Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné (Sbírka úloh). Liberec, TUL 2006, 2007..
-
Brabec, J. - Martan, F. - Rozenský, Z.:. Matematická analýza I. Praha, SNTL 1985..
-
Černý, I.:. Matematická analýza, 1.část. [Skripta TU v Liberci.] Liberec 1995..
-
Nekvinda, M.:. Matematika I. Liberec 1997..
-
Nekvinda, M.- Vild, J.:. Matematické oříšky I. Liberec, TUL 1999, 2002, 2003..
-
Veselý, J.:. Matematická analýza pro učitele, 1.díl. Praha, Matfyzpress 1997..
|