Vektorové prostory, prostory funkcí (prostory polynomů, po částech polynomiálních funkcí, spojitých, diferencovatelných funkcí). Prostory konečných prvků. Triangulace oblasti, uzlové parametry, Lagrangeovy, Hermitovy a izoparametrické prvky, referenční prvek a referenční souřadnice. Normované vektorové prostory. Konvergence posloupnosti vektorů, cauchyovské posloupnosti, úplné (Banachovy) prostory, normy na prostorech aritmetických vektorů a na prostorech spojitých a diferencovatelných funkcí, Lebesgueovy prostory, Sobolevovy prostory. Prostory se skalárním součinem. Norma (a konvergence) odvozená od skalárního součinu, Hilbertovy prostory. Schwartzova nerovnost, rovnoběžníková rovnost, ortogonální vektory, vektor ortogonální na podprostor, ortogonální podprostory, věta o ortogonální projekci na uzavřený podprostor. Ortogonální a ortonormální baze, Gram-Schmidtův algoritmus, Fourierova řada, Besselova nerovnost, Parcevalova rovnost, úplná ortogonální množina, Schauderova baze. Lineární funkcionály. Jádro a obor hodnot lineárního funkcionálu. Spojité a omezené lineární funkcionály, věta o spojitých a omezených funkcionálech a věta o uzavřenosti jádra spojitého funkcionálu. Riezsova věta o reprezentaci spojitého funkcionálu na Hilbertově prostoru. Lineární zobrazení. Matice lineárního zobrazení, změna matice při změně baze ve výchozím a cílovém prostoru, jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, Frobeniova věta. Lineární zobrazení na prostorech se skalárním součinem. Matice lineárního zobrazení vzhledem k ortonormální bazi. Sdružené, symetrické a samosdružené zobrazení. Izometrie. Polární rozklad matice. Vlastní čísla a vlastní vektory lineárních zobrazení. Invarianty zobrazení. Funkce zobrazení. Vlastní čísla a vlastní vektory symetrických zobrazení a izometrie. Lineární zobrazení v mechanice kontinua. Kvadratické funkcionály. Bilineární, symetrické funkcionály. Pozitivní, pozitivně definitní, omezené, spojité kvadratické funkcionály. Lax-Milgramova věta o minimu kvadratického funkcionálu. Aproximace jako minimum kvadratického funkcionálu. Variační formulace. Gaussova věta (jako vícerozměrné per partes). Klasická (silná) a variační (slabá) formulace, energetický funkcionál. Ritzova metoda, Galerkinova metoda. Metoda konečných prvků jako speciální případ Ritzovy metody, matice tuhosti. Numerická vícerozměrná integrace. Gaussovy body. Metoda sdružených gradientů.
|