|
Vyučující
|
-
Březina Jan, doc. Mgr. Ph.D.
-
Stebel Jan, doc. Mgr. Ph.D.
-
Exner Pavel, Ing. Ph.D.
|
|
Obsah předmětu
|
Přednášky: 1. Okrajová úloha pro diferenciální rovnici 2. řádu v jedné dimenzi - interpretace, slabá formulace. 2. Lineární konečné prvky pro rovnici 2. řádu v 1D. 3. Odhad chyby pro metodu konečných prvků (MKP) s lineárními prvky v 1D. 4. 2D Poissonova rovnice - Greenova věta, slabá formulace a lineární prvky. 5. Praktické aspekty MKP - algoritmus sestavení stavové matice a vektoru pravé strany. Výpočetní sítě. Kvadraturní formule. 6. Úvod do funkcionální analýzy. Norma, skalární součin. Konvergence, úplnost. 7. Prostory integrovatelných funkcí (L^2, L^nekonečno). Slabá derivace, Sobolevovy prostory (H^1). Operátor stopy, Friedrichsova/Poincareho nerovnost. 8. Abstraktní formulace MKP pro eliptické úlohy. Variační forma slabého řešení. Lax-Milgramova věta. Aplikace na úlohu s nehomogenní Dirichletovou podmínkou. 9. Neumannova okrajová podmínka. Galerkinova metoda. Céovo lemma. 10. Odhad chyby diskretizace v normách Sobolevova prostoru pro MKP 1. a 2. řádu. 11. Konečný prvek obecně. Referenční prvek, transformace. 12. Iterační metody Krylovovských podprostorů. 13. Metody předpodmínění iteračních metod. 14. Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic. MKP pro parabolické rovnice. Cvičení 1. Vektorový prostor funkcí. Funkce více proměnných. Diferenciální operátory: gradient, divergence, rotace. Derivace složených funkcí. 2. Slabé formulace fyzikálně motivovaných úloh v 1D. 3. Implementace lineárních KP v 1D pomocí globální matice a vektoru. 4. Implementace lineárních KP v 1D pomocí globální matice a vektoru. Vliv jemnosti sítě na chybu aproximace. 5. Implementace lin. KP pomocí lokálních matic a numerické kvadratury. 6. Implementace lineárních a kvadratických KP pomocí lokálních matic a numerické kvadratury. 7. Norma - ověření definice, výpočet normy, (bi)lineární formy. 8. Konvergence posloupností funkcí. 9. Slabé formulace pro různé okrajové podmínky v 1D a 2D. 10. Písemný test. Slabá řešení. 11. Aplikace Lax-Milgramovy věty na různé rovnice s různými okrajovými podmínkami. Ověřování vlastností forem. Odhady, nerovnosti. 12. Implementace různých okrajových podmínek. 13. Eulerova metoda pro parabolické úlohy. 14. Rezerva.
|
|
Studijní aktivity a metody výuky
|
Monologický výklad (přednáška, prezentace, vysvětlování)
- Účast na výuce
- 56 hodin za semestr
- Příprava na zápočet
- 20 hodin za semestr
- Příprava na zkoušku
- 35 hodin za semestr
- Domácí příprava na výuku
- 15 hodin za semestr
- Příprava na dílčí test
- 25 hodin za semestr
|
|
Výstupy z učení
|
Předmět seznamuje s metodou konečných prvků pro řešení stacionárních a evolučních parciálních diferenciálních rovnic. Zahrnuje i nezbytný úvod do funkcionální analýzy a příklady fyzikálních úloh vedoucích na parciální diferenciální rovnice.
Student získá základní znalost metody konečných prvků a elementární funkcionální analýzy. Je schopen odvodit slabé řešení a sestavení stavové matice pro různé fyzikální problémy.
|
|
Předpoklady
|
Nespecifikováno
|
|
Hodnoticí metody a kritéria
|
Kombinovaná zkouška
|
|
Doporučená literatura
|
-
Axelsson, O., Barker, V.A. Element Solution of Boundary Value Problems. Academic Press, INC., London, 1984.
-
Ciarlet, P.G.:. The finite element method for elliptic problems. 1978.
-
Haslinger, J.:. Řešení variačních rovnic a nerovnic, skriptum.. MF UK, Praha, 1983.
-
Zienkiewicz O. et al. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth- Heic nemann, 2005, New York.
|