Tato diplomová práce se zabývá matematickými modely v epidemiologii, konkrétně nejjednoduššími modely SI a SIS, rozšířené o model SIR. První část práce je ve zkratce věnována základním poznatkům z moderní teorie epidemií. Následně je představen samotný matematický aparát, použitý pro popis modelů a jejich analytického, resp. diskrétního, řešení. Ve třetí části se již přejde k vybraným modelům jednoduchých epidemií, sahajících od modelu SI, přes model SIS až po nejznámější model SIR. V diplomové práci jsou využity nejen modelové příklady s uměle vytvořenými parametry, ale také reálná data konkrétních epidemií infekčních nemocí z historie. V obou případech je vývoj epidemie implementován a zobrazen pomocí programu MATLAB.
Anotace v angličtině
This diploma thesis deals with mathematical models in epidemiology, specifically with the simplest SI and SIS models, extended by the SIR model. The first part of the work briefly covers basic knowledge from modern theories of epidemics. Subsequently, the mathematical apparatus used to describe the models and their analytical or discrete solutions is introduced. The third part turns to selected models of simple epidemics, ranging from the SI model, through the SIS model, to the most famous SIR model. The thesis utilizes not only model examples with artificially created parameters but also real data from specific historical infectious disease epidemics. In both cases, the development of epidemics is implemented and displayed using MATLAB.
Klíčová slova
epidemie, epidemiologie, diferenciální rovnice, diskrétní řešení, základní reprodukční číslo, model SI, model SIS, model SIR
Klíčová slova v angličtině
epidemics, epidemiology, differential equation, discrete solution, basic reproduction number, model SI, model SIS, model SIR
Rozsah průvodní práce
58 s.
Jazyk
CZ
Anotace
Tato diplomová práce se zabývá matematickými modely v epidemiologii, konkrétně nejjednoduššími modely SI a SIS, rozšířené o model SIR. První část práce je ve zkratce věnována základním poznatkům z moderní teorie epidemií. Následně je představen samotný matematický aparát, použitý pro popis modelů a jejich analytického, resp. diskrétního, řešení. Ve třetí části se již přejde k vybraným modelům jednoduchých epidemií, sahajících od modelu SI, přes model SIS až po nejznámější model SIR. V diplomové práci jsou využity nejen modelové příklady s uměle vytvořenými parametry, ale také reálná data konkrétních epidemií infekčních nemocí z historie. V obou případech je vývoj epidemie implementován a zobrazen pomocí programu MATLAB.
Anotace v angličtině
This diploma thesis deals with mathematical models in epidemiology, specifically with the simplest SI and SIS models, extended by the SIR model. The first part of the work briefly covers basic knowledge from modern theories of epidemics. Subsequently, the mathematical apparatus used to describe the models and their analytical or discrete solutions is introduced. The third part turns to selected models of simple epidemics, ranging from the SI model, through the SIS model, to the most famous SIR model. The thesis utilizes not only model examples with artificially created parameters but also real data from specific historical infectious disease epidemics. In both cases, the development of epidemics is implemented and displayed using MATLAB.
Klíčová slova
epidemie, epidemiologie, diferenciální rovnice, diskrétní řešení, základní reprodukční číslo, model SI, model SIS, model SIR
Klíčová slova v angličtině
epidemics, epidemiology, differential equation, discrete solution, basic reproduction number, model SI, model SIS, model SIR
Zásady pro vypracování
Matematické modely šíření infekčních nemocí v čase pomáhají odhalit příčiny vzniku a šíření těchto chorob. Jakmile je vytvořen model, který zachycuje hlavní rysy progrese a přenosu konkrétní choroby v populaci, lze jej použít k predikci účinků různých strategií pro úplné vymýcení nebo kontrolu nemocí. Modelování infekčních chorob, přestože je často nepřesné, má tak obrovský potenciál pomoci zlepšit či zachránit lidské životy.
Cílem práce je seznámit se s elementárními epidemiologickými modely a představit jejich základní vlastnosti. Nejprve bude práce zaměřena na matematický aparát, který je využit při popisu a numerickém řešení příslušných modelů popsaných systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Následně budou prezentovány a analyzovány jednotlivé modely. Součástí práce budou také modelové příklady epidemií, založené i na reálných referenčních datech, jejichž řešení budou implementována v prostředí MATLAB. Ve vybraných případech bude ukázána analogie s řešením pomocí diferenčních rovnic.
Zásady pro vypracování
Matematické modely šíření infekčních nemocí v čase pomáhají odhalit příčiny vzniku a šíření těchto chorob. Jakmile je vytvořen model, který zachycuje hlavní rysy progrese a přenosu konkrétní choroby v populaci, lze jej použít k predikci účinků různých strategií pro úplné vymýcení nebo kontrolu nemocí. Modelování infekčních chorob, přestože je často nepřesné, má tak obrovský potenciál pomoci zlepšit či zachránit lidské životy.
Cílem práce je seznámit se s elementárními epidemiologickými modely a představit jejich základní vlastnosti. Nejprve bude práce zaměřena na matematický aparát, který je využit při popisu a numerickém řešení příslušných modelů popsaných systémy obyčejných diferenciálních rovnic. Následně budou prezentovány a analyzovány jednotlivé modely. Součástí práce budou také modelové příklady epidemií, založené i na reálných referenčních datech, jejichž řešení budou implementována v prostředí MATLAB. Ve vybraných případech bude ukázána analogie s řešením pomocí diferenčních rovnic.
Seznam doporučené literatury
Allman, E.S., Rhodes, J.A., Mathematical Models in Biology. An Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
Brauer, F. van den Driessche, P., Wu, J. Mathematical Epidemiology, Springer, Heidelberg, 2008.
Brzezina, M., Veselý, J., Obyčejné (lineární) diferenciální rovnice a jejich systémy, Technická univerzita v Liberci, Liberec, 2012.